मैथमैटिका इटर्ना
खुला एक्सेस

अमूर्त

रीमान क्षेत्र पर बीजीय कार्यों का सिद्धांत

जॉन निक्सन

रीमैन क्षेत्र (S) को अनंत पर बिंदु के साथ जटिल तल के रूप में परिभाषित किया गया है। बीजीय कार्यों को S × S के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है, जैसे कि S पर एक द्विचर बहुपद शून्य होता है। यह दिखाया गया है कि बीजीय कार्यों का सेट जोड़, गुणा, संयोजन, व्युत्क्रम, संघ और विभेदन के तहत बंद है। विलक्षण बिंदुओं को ऐसे बिंदुओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जहाँ फ़ंक्शन स्थानीय रूप से 1 से 1 नहीं होता है। विलक्षण बिंदु मापदंडों की गणना करने के लिए एक सामान्य विधि दी गई है, अर्थात एक टोपोलॉजिकल वाइंडिंग संख्या अनुपात, एक शक्ति गुणांक और S × S में स्थान, और यह तर्क दिया जाता है कि एक बीजीय फ़ंक्शन की टोपोलॉजी केवल उसके सभी विलक्षण बिंदुओं के वाइंडिंग संख्या अनुपातों पर निर्भर करती है। यह दिखाने के बाद कि इनमें से अधिकांश विलक्षण बिंदु मापदंडों की गणना क्लोजर ऑपरेशन के तहत कैसे की जा सकती है और यह कि विलक्षण बिंदुओं के बिना एक फ़ंक्शन रैखिक है, यह इस प्रकार है कि विलक्षण बिंदु मापदंडों के सभी चौगुने का सेट विशिष्ट रूप से एक बीजीय फ़ंक्शन निर्धारित करता है।