मैथमैटिका इटर्ना
खुला एक्सेस

अमूर्त

परिमेय संख्याओं और सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं पर रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन के मानों के बीच संबंध पर

PaweËœJ. SzabËœowski

श्रृंखला के यूलर परिवर्तन का उपयोग करते हुए, हम हर्विट्ज जीटा फ़ंक्शन (s; t) के पूर्णांक और तर्कों के तर्कसंगत मूल्यों को कुछ तेज़ी से अभिसरण करने वाली श्रृंखलाओं से जोड़ते हैं, जहाँ कुछ सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याएँ दिखाई देती हैं। पेपर के अधिकांश परिणाम अरकावा-कानेको जीटा फ़ंक्शन के गुणों पर हाल के, अधिक उन्नत परिणामों से प्राप्त किए जा सकते हैं। हम सरल पुनरावृत्तियों को हल करके सीधे अपने परिणाम प्राप्त करते हैं। ऊपर उल्लिखित सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं का रूप हर्विट्ज फ़ंक्शन के तर्कों के मूल्यों के बारे में जानकारी देता है। विशेष रूप से हम साबित करते हैं: 8k 2 N: (k; 1) = (k) = 2 k1 2 k11 P1 n=1 H (k1) n n2n; जहाँ H (k) n को सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं के नीचे दर्शाया गया है, या K = P1 n=0 n!(H2n+1Hn=2) 2(2n+1)!! जहाँ K कैलाटन स्थिरांक को दर्शाता है और Hn nवें (साधारण) हार्मोनिक संख्या को दर्शाता है। इसके अलावा हम दिखाते हैं कि संख्याओं ^ (k) = P1 j=1(1)j1=jk, k 2 N और ^ (0) = 1=2 का जनरेटिंग फ़ंक्शन B(1=2; 1 y; 1 + y) के बराबर है जहाँ B(x; a; b) अपूर्ण बीटा को दर्शाता है